แก้โจทย์ {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x+2y=-78$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10x=-2y-78$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

คูณ \frac{1}{10} ด้วย -2y-78

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

ทดแทน \frac{-y-39}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x-2y=-29

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

คูณ -3 ด้วย \frac{-y-39}{5}

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

เพิ่ม \frac{3y}{5} ไปยัง -2y

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

ลบ \frac{117}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{262}{7}$$

ทดแทน \frac{262}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ครั้ง \frac{262}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

เพิ่ม -\frac{39}{5} ไปยัง -\frac{262}{35} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{107}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

เพื่อทำให้ 10x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 10

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

ลบ -30x-20y=-290 จาก -30x-6y=234 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

เพิ่ม -30x ไปยัง 30x ตัดพจน์ -30x และ 30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y+20y=234+290$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 20y

$$14y=234+290$$

เพิ่ม 234 ไปยัง 290

$$14y=524$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$y=\frac{262}{7}$$

ทดแทน \frac{262}{7} สำหรับ y ใน -3x-2y=-29 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

คูณ -2 ด้วย \frac{262}{7}

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

เพิ่ม \frac{524}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=\frac{321}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{107}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$