แก้โจทย์ {l}{-x-y=-6}{2x-3y=-3}

$$\left.\begin{array} { l } { - x - y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x-y=-6$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=y-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\left(y-6\right)$$

คูณ -1 ด้วย y-6

$$x=-y+6$$

ทดแทน -y+6 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=-3

$$2\left(-y+6\right)-3y=-3$$

คูณ 2 ด้วย -y+6

$$-2y+12-3y=-3$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -3y

$$-5y+12=-3$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-y+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -3

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\left(-3\right)\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)-\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

เพื่อทำให้ -x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=2\left(-6\right),-2x-\left(-3y\right)=-\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-2y=-12,-2x+3y=3$$

ลบ -2x+3y=3 จาก -2x-2y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-2y-3y=-12-3$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-3y=-12-3$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -3y

$$-5y=-12-3$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -3

$$-5y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 2x-3y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\times 3=-3$$

คูณ -3 ด้วย 3

$$2x-9=-3$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=3$$