แก้โจทย์ {l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x+2y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-x-2y-x=-y$$

รวม -x และ -x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-2y+y=0$$

รวม -2y และ y เพื่อให้ได้รับ -y

$$-2x-y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-3x-2y=-4-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$-3x-2y+x=-4$$

รวม -3x และ x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x-y=0$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=y$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}y$$

ทดแทน -\frac{y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-2y=-4

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{y}{2}

$$y-2y=-4$$

เพิ่ม y ไปยัง -2y

$$-y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 4

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x+2y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-x-2y-x=-y$$

รวม -x และ -x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-2y+y=0$$

รวม -2y และ y เพื่อให้ได้รับ -y

$$-2x-y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-3x-2y=-4-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$-3x-2y+x=-4$$

รวม -3x และ x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x+2y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-x-2y-x=-y$$

รวม -x และ -x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-2y+y=0$$

รวม -2y และ y เพื่อให้ได้รับ -y

$$-2x-y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-3x-2y=-4-x$$

เพิ่ม x ไปทั้งสองด้าน

$$-3x-2y+x=-4$$

รวม -3x และ x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-2y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

ลบ -2x-2y=-4 จาก -2x-y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-y+2y=4$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-y+2y=4$$

เพิ่ม -y ไปยัง 2y

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน -2x-2y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-2\times 4=-4$$

คูณ -2 ด้วย 4

$$-2x-8=-4$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=4$$