แก้โจทย์ {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$x+y=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=5,7x+3y=47$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=5$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+5$$

ทดแทน -y+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+3y=47

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

คูณ 7 ด้วย -y+5

$$-7y+35+3y=47$$

เพิ่ม -7y ไปยัง 3y

$$-4y+35=47$$

ลบ 35 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-3\right)+5$$

คูณ -1 ด้วย -3

$$x=3+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง 3

$$x=8$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=8,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$x+y=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=5,7x+3y=47$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=8,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$x+y=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=5,7x+3y=47$$

เพื่อทำให้ x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

ลบ 7x+3y=47 จาก 7x+7y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -7x ตัดพจน์ 7x และ -7x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y-3y=35-47$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -3y

$$4y=35-47$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -47

$$4y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 7x+3y=47 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

คูณ 3 ด้วย -3

$$7x-9=47$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=56$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=8$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=8,y=-3$$