แก้โจทย์ {l}{x-2y=6}{x=10y-2}

$$\left. \begin{array}{l}{ x - 2 y = 6 }\\{ x = 10 y - 2 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=8$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10y จากทั้งสองด้าน

$$x-10y=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=6$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y+6$$

ทดแทน 6+2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-10y=-2

$$2y+6-10y=-2$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -10y

$$-8y+6=-2$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=2y+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง 2

$$x=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=8,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10y จากทั้งสองด้าน

$$x-10y=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-10-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-10-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-10-\left(-2\right)}&\frac{1}{-10-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=8,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 10y จากทั้งสองด้าน

$$x-10y=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

ลบ x-10y=-2 จาก x-2y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x-2y+10y=6+2$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+10y=6+2$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 10y

$$8y=6+2$$

เพิ่ม 6 ไปยัง 2

$$8y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x-10y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-10=-2$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=8,y=1$$