แก้โจทย์ {l}{x=2y-3}{2x+5y=30}

$$\left. \begin{array}{l}{ x = 2 y - 3 }\\{ 2 x + 5 y = 30 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=-3$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y-3$$

ทดแทน 2y-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+5y=30

$$2\left(2y-3\right)+5y=30$$

คูณ 2 ด้วย 2y-3

$$4y-6+5y=30$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 5y

$$9y-6=30$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=2y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times 4-3$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$x=8-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 8

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),2x+5y=30$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-4y=-6,2x+5y=30$$

ลบ 2x+5y=30 จาก 2x-4y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-4y-5y=-6-30$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-5y=-6-30$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -5y

$$-9y=-6-30$$

เพิ่ม -6 ไปยัง -30

$$-9y=-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 2x+5y=30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+5\times 4=30$$

คูณ 5 ด้วย 4

$$2x+20=30$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=4$$