แก้โจทย์ {l}{x+y=64}{0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=117.5$$

$$y=-53.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=64$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+64$$

ทดแทน -y+64 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.12x+0.26y=0.19

$$0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

คูณ 0.12 ด้วย -y+64

$$-0.12y+7.68+0.26y=0.19$$

เพิ่ม -\frac{3y}{25} ไปยัง \frac{13y}{50}

$$0.14y+7.68=0.19$$

ลบ 7.68 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.14y=-7.49$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.14 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-53.5$$

ทดแทน -53.5 สำหรับ y ใน x=-y+64 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-53.5\right)+64$$

คูณ -1 ด้วย -53.5

$$x=53.5+64$$

เพิ่ม 64 ไปยัง 53.5

$$x=117.5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=117.5,y=-53.5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-0.12}&-\frac{1}{0.26-0.12}\\-\frac{0.12}{0.26-0.12}&\frac{1}{0.26-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{50}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{50}{7}\times 0.19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{50}{7}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}117.5\\-53.5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=117.5,y=-53.5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{3x}{25} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.12x+0.12y=0.12\times 64,0.12x+0.26y=0.19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.12x+0.12y=7.68,0.12x+0.26y=0.19$$

ลบ 0.12x+0.26y=0.19 จาก 0.12x+0.12y=7.68 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

เพิ่ม \frac{3x}{25} ไปยัง -\frac{3x}{25} ตัดพจน์ \frac{3x}{25} และ -\frac{3x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

เพิ่ม \frac{3y}{25} ไปยัง -\frac{13y}{50}

$$-0.14y=7.68-0.19$$

เพิ่ม 7.68 ไปยัง -0.19 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-0.14y=7.49$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.14 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-53.5$$

ทดแทน -53.5 สำหรับ y ใน 0.12x+0.26y=0.19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.12x+0.26\left(-53.5\right)=0.19$$

คูณ 0.26 ครั้ง -53.5 โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$0.12x-13.91=0.19$$

เพิ่ม 13.91 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.12x=14.1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.12 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=117.5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=117.5,y=-53.5$$