แก้โจทย์ {l}{x+y=10}{x=63y}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 10 }\\{ x = 63 y }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{315}{32} = 9\frac{27}{32} = 9.84375$$

$$y=\frac{5}{32}=0.15625$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 63y จากทั้งสองด้าน

$$x-63y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=10,x-63y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=10$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+10$$

ทดแทน -y+10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-63y=0

$$-y+10-63y=0$$

เพิ่ม -y ไปยัง -63y

$$-64y+10=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-64y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -64

$$y=\frac{5}{32}$$

ทดแทน \frac{5}{32} สำหรับ y ใน x=-y+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{32}+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -\frac{5}{32}

$$x=\frac{315}{32}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{315}{32},y=\frac{5}{32}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 63y จากทั้งสองด้าน

$$x-63y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=10,x-63y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{63}{-63-1}&-\frac{1}{-63-1}\\-\frac{1}{-63-1}&\frac{1}{-63-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{1}{64}&-\frac{1}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}\times 10\\\frac{1}{64}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{315}{32}\\\frac{5}{32}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{315}{32},y=\frac{5}{32}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 63y จากทั้งสองด้าน

$$x-63y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=10,x-63y=0$$

ลบ x-63y=0 จาก x+y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+y+63y=10$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y+63y=10$$

เพิ่ม y ไปยัง 63y

$$64y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 64

$$y=\frac{5}{32}$$

ทดแทน \frac{5}{32} สำหรับ y ใน x-63y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-63\times \frac{5}{32}=0$$

คูณ -63 ด้วย \frac{5}{32}

$$x-\frac{315}{32}=0$$

เพิ่ม \frac{315}{32} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{315}{32}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{315}{32},y=\frac{5}{32}$$