แก้โจทย์ {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 1+y

$$x+2y=3+3y+1$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$x+2y=4+3y$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+2y-3y=4$$

รวม 2y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -y

$$x-y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 1-y

$$8-y=2-2y+3x$$

เพิ่ม 2y ไปทั้งสองด้าน

$$8-y+2y=2+3x$$

รวม -y และ 2y เพื่อให้ได้รับ y

$$8+y=2+3x$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$8+y-3x=2$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=2-8$$

ลบ 8 จาก 2 เพื่อรับ -6

$$y-3x=-6$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=4$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+4$$

ทดแทน y+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+y=-6

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

คูณ -3 ด้วย y+4

$$-3y-12+y=-6$$

เพิ่ม -3y ไปยัง y

$$-2y-12=-6$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 1+y

$$x+2y=3+3y+1$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$x+2y=4+3y$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+2y-3y=4$$

รวม 2y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -y

$$x-y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 1-y

$$8-y=2-2y+3x$$

เพิ่ม 2y ไปทั้งสองด้าน

$$8-y+2y=2+3x$$

รวม -y และ 2y เพื่อให้ได้รับ y

$$8+y=2+3x$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$8+y-3x=2$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=2-8$$

ลบ 8 จาก 2 เพื่อรับ -6

$$y-3x=-6$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 1+y

$$x+2y=3+3y+1$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$x+2y=4+3y$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+2y-3y=4$$

รวม 2y และ -3y เพื่อให้ได้รับ -y

$$x-y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 1-y

$$8-y=2-2y+3x$$

เพิ่ม 2y ไปทั้งสองด้าน

$$8-y+2y=2+3x$$

รวม -y และ 2y เพื่อให้ได้รับ y

$$8+y=2+3x$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$8+y-3x=2$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=2-8$$

ลบ 8 จาก 2 เพื่อรับ -6

$$y-3x=-6$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

เพื่อทำให้ x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

ลบ -3x+y=-6 จาก -3x+3y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 3x ตัดพจน์ -3x และ 3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-y=-12+6$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -y

$$2y=-12+6$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 6

$$2y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน -3x+y=-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x-3=-6$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-3$$