แก้โจทย์ {l}{8x-5y=19}{6x+11y=29}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x - 5 y = 19 }\\{ 6 x + 11 y = 29 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-5y=19$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=5y+19$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+19\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย 5y+19

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}$$

ทดแทน \frac{5y+19}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+11y=29

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}\right)+11y=29$$

คูณ 6 ด้วย \frac{5y+19}{8}

$$\frac{15}{4}y+\frac{57}{4}+11y=29$$

เพิ่ม \frac{15y}{4} ไปยัง 11y

$$\frac{59}{4}y+\frac{57}{4}=29$$

ลบ \frac{57}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{59}{4}y=\frac{59}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{59}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{8}y+\frac{19}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5+19}{8}$$

เพิ่ม \frac{19}{8} ไปยัง \frac{5}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{118}&\frac{5}{118}\\-\frac{3}{59}&\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{118}\times 19+\frac{5}{118}\times 29\\-\frac{3}{59}\times 19+\frac{4}{59}\times 29\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

เพื่อทำให้ 8x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 19,8\times 6x+8\times 11y=8\times 29$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$48x-30y=114,48x+88y=232$$

ลบ 48x+88y=232 จาก 48x-30y=114 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$48x-48x-30y-88y=114-232$$

เพิ่ม 48x ไปยัง -48x ตัดพจน์ 48x และ -48x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-30y-88y=114-232$$

เพิ่ม -30y ไปยัง -88y

$$-118y=114-232$$

เพิ่ม 114 ไปยัง -232

$$-118y=-118$$

หารทั้งสองข้างด้วย -118

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 6x+11y=29 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+11=29$$

ลบ 11 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=1$$