แก้โจทย์ {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-4y=-7$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=4y-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 4y-7

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{4y-7}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -6x+8y=2

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

คูณ -6 ด้วย \frac{4y-7}{5}

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

เพิ่ม -\frac{24y}{5} ไปยัง 8y

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

ลบ \frac{42}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{16}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

คูณ \frac{4}{5} ด้วย -2

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

เพิ่ม -\frac{7}{5} ไปยัง -\frac{8}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

เพื่อทำให้ 5x และ -6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

ลบ -30x+40y=10 จาก -30x+24y=42 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

เพิ่ม -30x ไปยัง 30x ตัดพจน์ -30x และ 30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$24y-40y=42-10$$

เพิ่ม 24y ไปยัง -40y

$$-16y=42-10$$

เพิ่ม 42 ไปยัง -10

$$-16y=32$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -6x+8y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

คูณ 8 ด้วย -2

$$-6x-16=2$$

เพิ่ม 16 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=-2$$