แก้โจทย์ {l}{4x-7y=10}{-3x+2y=-9}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 7 y = 10 }\\{ - 3 x + 2 y = - 9 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13} \approx 3.307692308$$

$$y=\frac{6}{13}\approx 0.461538462$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-7y=10$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=7y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 7y+10

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{7y}{4}+\frac{5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+2y=-9

$$-3\left(\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=-9$$

คูณ -3 ด้วย \frac{7y}{4}+\frac{5}{2}

$$-\frac{21}{4}y-\frac{15}{2}+2y=-9$$

เพิ่ม -\frac{21y}{4} ไปยัง 2y

$$-\frac{13}{4}y-\frac{15}{2}=-9$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{3}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{6}{13}$$

ทดแทน \frac{6}{13} สำหรับ y ใน x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{4}\times \frac{6}{13}+\frac{5}{2}$$

คูณ \frac{7}{4} ครั้ง \frac{6}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{21}{26}+\frac{5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง \frac{21}{26} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{43}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{3}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 10-\frac{7}{13}\left(-9\right)\\-\frac{3}{13}\times 10-\frac{4}{13}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{13}\\\frac{6}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

เพื่อทำให้ 4x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-3\times 4x-3\left(-7\right)y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 2y=4\left(-9\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x+21y=-30,-12x+8y=-36$$

ลบ -12x+8y=-36 จาก -12x+21y=-30 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x+21y-8y=-30+36$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$21y-8y=-30+36$$

เพิ่ม 21y ไปยัง -8y

$$13y=-30+36$$

เพิ่ม -30 ไปยัง 36

$$13y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=\frac{6}{13}$$

ทดแทน \frac{6}{13} สำหรับ y ใน -3x+2y=-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+2\times \frac{6}{13}=-9$$

คูณ 2 ด้วย \frac{6}{13}

$$-3x+\frac{12}{13}=-9$$

ลบ \frac{12}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-\frac{129}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=\frac{43}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$