แก้โจทย์ {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-2y=13$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=2y+13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 2y+13

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

ทดแทน \frac{y}{2}+\frac{13}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+2y=1

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

คูณ -2 ด้วย \frac{y}{2}+\frac{13}{4}

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

เพิ่ม -y ไปยัง 2y

$$y-\frac{13}{2}=1$$

เพิ่ม \frac{13}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{15}{2}$$

ทดแทน \frac{15}{2} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

คูณ \frac{1}{2} ครั้ง \frac{15}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{15+13}{4}$$

เพิ่ม \frac{13}{4} ไปยัง \frac{15}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

เพื่อทำให้ 4x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

ลบ -8x+8y=4 จาก -8x+4y=-26 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

เพิ่ม -8x ไปยัง 8x ตัดพจน์ -8x และ 8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-8y=-26-4$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -8y

$$-4y=-26-4$$

เพิ่ม -26 ไปยัง -4

$$-4y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=\frac{15}{2}$$

ทดแทน \frac{15}{2} สำหรับ y ใน -2x+2y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{15}{2}

$$-2x+15=1$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$