แก้โจทย์ {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-4y=-4$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=4y-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

คูณ \frac{1}{12} ด้วย -4+4y

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-1+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+8y=17

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-1+y}{3}

$$y-1+8y=17$$

เพิ่ม y ไปยัง 8y

$$9y-1=17$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2

$$x=\frac{2-1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{1}{3} ไปยัง \frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

เพื่อทำให้ 12x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 12

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

ลบ 36x+96y=204 จาก 36x-12y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

เพิ่ม 36x ไปยัง -36x ตัดพจน์ 36x และ -36x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-96y=-12-204$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -96y

$$-108y=-12-204$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -204

$$-108y=-216$$

หารทั้งสองข้างด้วย -108

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 3x+8y=17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+8\times 2=17$$

คูณ 8 ด้วย 2

$$3x+16=17$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{3},y=2$$