แก้โจทย์ {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ -1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+1,3

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3=y+1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-y=1$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x-y=1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$3x-y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4\left(y-1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y-1,4

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x-1

$$4x-4=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$4x-4-y=-1$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4x-y=-1+4$$

เพิ่ม -1 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 3

$$4x-y=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-y=-2$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y-2

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{-2+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-y=3

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-2+y}{3}

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง -y

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=17$$

ทดแทน 17 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 17

$$x=\frac{17-2}{3}$$

เพิ่ม -\frac{2}{3} ไปยัง \frac{17}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=17$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ -1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+1,3

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3=y+1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-y=1$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x-y=1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$3x-y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4\left(y-1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y-1,4

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x-1

$$4x-4=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$4x-4-y=-1$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4x-y=-1+4$$

เพิ่ม -1 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 3

$$4x-y=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=5,y=17$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ -1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+1,3

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3=y+1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-y=1$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x-y=1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$3x-y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4\left(y-1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y-1,4

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x-1

$$4x-4=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$4x-4-y=-1$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4x-y=-1+4$$

เพิ่ม -1 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 3

$$4x-y=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

ลบ 4x-y=3 จาก 3x-y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x-4x=-2-3$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -4x

$$-x=-2-3$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -3

$$-x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ x ใน 4x-y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$4\times 5-y=3$$

คูณ 4 ด้วย 5

$$20-y=3$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-17$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=17$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=5,y=17$$