แก้โจทย์ {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+4y=25$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-4y+25$$

ทดแทน -4y+25 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x+3y=52

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

คูณ -4 ด้วย -4y+25

$$16y-100+3y=52$$

เพิ่ม 16y ไปยัง 3y

$$19y-100=52$$

เพิ่ม 100 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$19y=152$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=-4y+25 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-4\times 8+25$$

คูณ -4 ด้วย 8

$$x=-32+25$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -32

$$x=-7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-7,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-7,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

เพื่อทำให้ x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

ลบ -4x+3y=52 จาก -4x-16y=-100 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-16y-3y=-100-52$$

เพิ่ม -16y ไปยัง -3y

$$-19y=-100-52$$

เพิ่ม -100 ไปยัง -52

$$-19y=-152$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน -4x+3y=52 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x+3\times 8=52$$

คูณ 3 ด้วย 8

$$-4x+24=52$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-7,y=8$$