แก้โจทย์ {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

หาค่า d, q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ d โดยแยก d ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$d+q=40$$

ลบ q จากทั้งสองข้างของสมการ

$$d=-q+40$$

ทดแทน -q+40 สำหรับ d ในอีกสมการหนึ่ง 10d+0.25q=5.8

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

คูณ 10 ด้วย -q+40

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

เพิ่ม -10q ไปยัง \frac{q}{4}

$$-9.75q+400=5.8$$

ลบ 400 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9.75q=-394.2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -9.75 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$q=\frac{2628}{65}$$

ทดแทน \frac{2628}{65} สำหรับ q ใน d=-q+40 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า d โดยตรงได้

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

เพิ่ม 40 ไปยัง -\frac{2628}{65}

$$d=-\frac{28}{65}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ d และ q

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

เพื่อทำให้ d และ 10d เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

ลบ 10d+0.25q=5.8 จาก 10d+10q=400 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

เพิ่ม 10d ไปยัง -10d ตัดพจน์ 10d และ -10d ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10q-0.25q=400-5.8$$

เพิ่ม 10q ไปยัง -\frac{q}{4}

$$9.75q=400-5.8$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -5.8

$$9.75q=394.2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 9.75 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$q=\frac{2628}{65}$$

ทดแทน \frac{2628}{65} สำหรับ q ใน 10d+0.25q=5.8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า d โดยตรงได้

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

คูณ 0.25 ครั้ง \frac{2628}{65} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

ลบ \frac{657}{65} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10d=-\frac{56}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$d=-\frac{28}{65}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$