แก้โจทย์ {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x+y=21$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=-y+21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย -y+21

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

ทดแทน \frac{-y+21}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 24x-5y=23

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

คูณ 24 ด้วย \frac{-y+21}{8}

$$-3y+63-5y=23$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -5y

$$-8y+63=23$$

ลบ 63 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8y=-40$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

คูณ -\frac{1}{8} ด้วย 5

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

เพิ่ม \frac{21}{8} ไปยัง -\frac{5}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

เพื่อทำให้ 8x และ 24x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 24 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

ลบ 192x-40y=184 จาก 192x+24y=504 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

เพิ่ม 192x ไปยัง -192x ตัดพจน์ 192x และ -192x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$24y+40y=504-184$$

เพิ่ม 24y ไปยัง 40y

$$64y=504-184$$

เพิ่ม 504 ไปยัง -184

$$64y=320$$

หารทั้งสองข้างด้วย 64

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 24x-5y=23 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$24x-5\times 5=23$$

คูณ -5 ด้วย 5

$$24x-25=23$$

เพิ่ม 25 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$24x=48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 24

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=5$$