แก้โจทย์ {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+2y=24$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-2y+24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -2y+24

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

ทดแทน \frac{-2y+24}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -8x+2y=-30

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

คูณ -8 ด้วย \frac{-2y+24}{7}

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

เพิ่ม \frac{16y}{7} ไปยัง 2y

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

เพิ่ม \frac{192}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{30}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{3}{5}$$

ทดแทน -\frac{3}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

คูณ -\frac{2}{7} ครั้ง -\frac{3}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

เพิ่ม \frac{24}{7} ไปยัง \frac{6}{35} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{18}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

ลบ -8x+2y=-30 จาก 7x+2y=24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7x+8x=24+30$$

เพิ่ม 7x ไปยัง 8x

$$15x=24+30$$

เพิ่ม 24 ไปยัง 30

$$15x=54$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$x=\frac{18}{5}$$

ทดแทน \frac{18}{5} สำหรับ x ใน -8x+2y=-30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

คูณ -8 ด้วย \frac{18}{5}

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

เพิ่ม \frac{144}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=-\frac{6}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$