แก้โจทย์ {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$6x+8y=k,x+y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x+8y=k$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-8y+k$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย -8y+k

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

ทดแทน -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=1

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

ลบ \frac{k}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ทดแทน -3+\frac{k}{2} สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

คูณ -\frac{4}{3} ด้วย -3+\frac{k}{2}

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

เพิ่ม \frac{k}{6} ไปยัง 4-\frac{2k}{3}

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$6x+8y=k,x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$6x+8y=k,x+y=1$$

เพื่อทำให้ 6x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 6

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

ลบ 6x+6y=6 จาก 6x+8y=k โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y-6y=k-6$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -6y

$$2y=k-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ทดแทน \frac{k}{2}-3 สำหรับ y ใน x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

ลบ -3+\frac{k}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$