แก้โจทย์ {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5y+x=44,y-x=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y+x=44$$

ลบ x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-x+44$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -x+44

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

ทดแทน \frac{-x+44}{5} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-x=4

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

เพิ่ม -\frac{x}{5} ไปยัง -x

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

ลบ \frac{44}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{6}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

คูณ -\frac{1}{5} ด้วย 4

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

เพิ่ม \frac{44}{5} ไปยัง -\frac{4}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=8,x=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5y+x=44,y-x=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=8,x=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5y+x=44,y-x=4$$

เพื่อทำให้ 5y และ y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

ลบ 5y-5x=20 จาก 5y+x=44 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x+5x=44-20$$

เพิ่ม x ไปยัง 5x

$$6x=44-20$$

เพิ่ม 44 ไปยัง -20

$$6x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y-x=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-4=4$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=8$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=8,x=4$$