แก้โจทย์ {r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

ลบ \frac{2y}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -\frac{2y}{3}-12

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

ทดแทน -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -6x-\frac{1}{3}y=20

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

คูณ -6 ด้วย -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

เพิ่ม \frac{4y}{5} ไปยัง -\frac{y}{3}

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

ลบ \frac{72}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{15} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

คูณ -\frac{2}{15} ด้วย 12

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

เพิ่ม -\frac{12}{5} ไปยัง -\frac{8}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-4$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-4,y=12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

เพื่อทำให้ 5x และ -6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

ลบ -30x-\frac{5}{3}y=100 จาก -30x-4y=72 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

เพิ่ม -30x ไปยัง 30x ตัดพจน์ -30x และ 30x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

เพิ่ม -4y ไปยัง \frac{5y}{3}

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

เพิ่ม 72 ไปยัง -100

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน -6x-\frac{1}{3}y=20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 12

$$-6x-4=20$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-4$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-4,y=12$$