แก้โจทย์ {r}{3x-y=2}{x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x - y = 2 } \\ { x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-y=2,x+2y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-y=2$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=y+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย y+2

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{2+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+2y=3

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}+2y=3$$

เพิ่ม \frac{y}{3} ไปยัง 2y

$$\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}=3$$

ลบ \frac{2}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1+2}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง \frac{1}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-y=2,x+2y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 3\\-\frac{1}{7}\times 2+\frac{3}{7}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-y=2,x+2y=3$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x-y=2,3x+3\times 2y=3\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x-y=2,3x+6y=9$$

ลบ 3x+6y=9 จาก 3x-y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-y-6y=2-9$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-y-6y=2-9$$

เพิ่ม -y ไปยัง -6y

$$-7y=2-9$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -9

$$-7y=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x+2y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+2=3$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$