แก้โจทย์ {r}{3a+4b=3}{a-2b=-4}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 a + 4 b = 3 } \\ { a - 2 b = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=-1$$

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3a+4b=3,a-2b=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3a+4b=3$$

ลบ 4b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=-4b+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=\frac{1}{3}\left(-4b+3\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4b+3

$$a=-\frac{4}{3}b+1$$

ทดแทน -\frac{4b}{3}+1 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-2b=-4

$$-\frac{4}{3}b+1-2b=-4$$

เพิ่ม -\frac{4b}{3} ไปยัง -2b

$$-\frac{10}{3}b+1=-4$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{10}{3}b=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{10}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ b ใน a=-\frac{4}{3}b+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}+1$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง \frac{3}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=-2+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -2

$$a=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-1,b=\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3a+4b=3,a-2b=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 3-\frac{3}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=-1,b=\frac{3}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3a+4b=3,a-2b=-4$$

เพื่อทำให้ 3a และ a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3a+4b=3,3a+3\left(-2\right)b=3\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3a+4b=3,3a-6b=-12$$

ลบ 3a-6b=-12 จาก 3a+4b=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3a-3a+4b+6b=3+12$$

เพิ่ม 3a ไปยัง -3a ตัดพจน์ 3a และ -3a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4b+6b=3+12$$

เพิ่ม 4b ไปยัง 6b

$$10b=3+12$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 12

$$10b=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$b=\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3}{2} สำหรับ b ใน a-2b=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a-2\times \frac{3}{2}=-4$$

คูณ -2 ด้วย \frac{3}{2}

$$a-3=-4$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=-1,b=\frac{3}{2}$$