แก้โจทย์ {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$22x+3y=5$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$22x=-3y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 22

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{22} ด้วย -3y+5

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

ทดแทน \frac{-3y+5}{22} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=70

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-3y+5}{22}

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

เพิ่ม -\frac{9y}{22} ไปยัง 2y

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

ลบ \frac{15}{22} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{35}{22} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{305}{7}$$

ทดแทน \frac{305}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

คูณ -\frac{3}{22} ครั้ง \frac{305}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

เพิ่ม \frac{5}{22} ไปยัง -\frac{915}{154} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{40}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

เพื่อทำให้ 22x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 22

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

ลบ 66x+44y=1540 จาก 66x+9y=15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

เพิ่ม 66x ไปยัง -66x ตัดพจน์ 66x และ -66x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-44y=15-1540$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -44y

$$-35y=15-1540$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -1540

$$-35y=-1525$$

หารทั้งสองข้างด้วย -35

$$y=\frac{305}{7}$$

ทดแทน \frac{305}{7} สำหรับ y ใน 3x+2y=70 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

คูณ 2 ด้วย \frac{305}{7}

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

ลบ \frac{610}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{120}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{40}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$