แก้โจทย์ {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x+3y=5$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=-3y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{12} ด้วย -3y+5

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

ทดแทน -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=7

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

เพิ่ม -\frac{3y}{4} ไปยัง 2y

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

ลบ \frac{5}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{23}{5}$$

ทดแทน \frac{23}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

คูณ -\frac{1}{4} ครั้ง \frac{23}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

เพิ่ม \frac{5}{12} ไปยัง -\frac{23}{20} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{11}{15}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

เพื่อทำให้ 12x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 12

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

ลบ 36x+24y=84 จาก 36x+9y=15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

เพิ่ม 36x ไปยัง -36x ตัดพจน์ 36x และ -36x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y-24y=15-84$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -24y

$$-15y=15-84$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -84

$$-15y=-69$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=\frac{23}{5}$$

ทดแทน \frac{23}{5} สำหรับ y ใน 3x+2y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{23}{5}

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

ลบ \frac{46}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{11}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{11}{15}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$