แก้โจทย์ {r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1.2x+3y=8$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$1.2x=-3y+8$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.2 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

คูณ \frac{5}{6} ด้วย -3y+8

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-3y=10

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3}

$$-15y+40-3y=10$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -3y

$$-18y+40=10$$

ลบ 40 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-18y=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18

$$y=\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{5}{3} สำหรับ y ใน x=-2.5y+\frac{20}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

คูณ -2.5 ครั้ง \frac{5}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

เพิ่ม \frac{20}{3} ไปยัง -\frac{25}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

เพื่อทำให้ \frac{6x}{5} และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1.2

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

ลบ 7.2x-3.6y=12 จาก 7.2x+18y=48 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

เพิ่ม \frac{36x}{5} ไปยัง -\frac{36x}{5} ตัดพจน์ \frac{36x}{5} และ -\frac{36x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18y+3.6y=48-12$$

เพิ่ม 18y ไปยัง \frac{18y}{5}

$$21.6y=48-12$$

เพิ่ม 48 ไปยัง -12

$$21.6y=36$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 21.6 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{5}{3} สำหรับ y ใน 6x-3y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

คูณ -3 ด้วย \frac{5}{3}

$$6x-5=10$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$