แก้โจทย์ {r}{-13y+11x=-163}{-8x+7y=94}

$$\left. \begin{array} { r } { - 13 y + 11 x = - 163 } \\ { - 8 x + 7 y = 94 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-3$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-13y+11x=-163,7y-8x=94$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-13y+11x=-163$$

ลบ 11x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-13y=-11x-163$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=-\frac{1}{13}\left(-11x-163\right)$$

คูณ -\frac{1}{13} ด้วย -11x-163

$$y=\frac{11}{13}x+\frac{163}{13}$$

ทดแทน \frac{11x+163}{13} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 7y-8x=94

$$7\left(\frac{11}{13}x+\frac{163}{13}\right)-8x=94$$

คูณ 7 ด้วย \frac{11x+163}{13}

$$\frac{77}{13}x+\frac{1141}{13}-8x=94$$

เพิ่ม \frac{77x}{13} ไปยัง -8x

$$-\frac{27}{13}x+\frac{1141}{13}=94$$

ลบ \frac{1141}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{27}{13}x=\frac{81}{13}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{27}{13} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ x ใน y=\frac{11}{13}x+\frac{163}{13} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{11}{13}\left(-3\right)+\frac{163}{13}$$

คูณ \frac{11}{13} ด้วย -3

$$y=\frac{-33+163}{13}$$

เพิ่ม \frac{163}{13} ไปยัง -\frac{33}{13} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-13y+11x=-163,7y-8x=94$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-13&11\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-13\left(-8\right)-11\times 7}&-\frac{11}{-13\left(-8\right)-11\times 7}\\-\frac{7}{-13\left(-8\right)-11\times 7}&-\frac{13}{-13\left(-8\right)-11\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{27}&-\frac{11}{27}\\-\frac{7}{27}&-\frac{13}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-163\\94\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{27}\left(-163\right)-\frac{11}{27}\times 94\\-\frac{7}{27}\left(-163\right)-\frac{13}{27}\times 94\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=10,x=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-13y+11x=-163,7y-8x=94$$

เพื่อทำให้ -13y และ 7y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -13

$$7\left(-13\right)y+7\times 11x=7\left(-163\right),-13\times 7y-13\left(-8\right)x=-13\times 94$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-91y+77x=-1141,-91y+104x=-1222$$

ลบ -91y+104x=-1222 จาก -91y+77x=-1141 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-91y+91y+77x-104x=-1141+1222$$

เพิ่ม -91y ไปยัง 91y ตัดพจน์ -91y และ 91y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$77x-104x=-1141+1222$$

เพิ่ม 77x ไปยัง -104x

$$-27x=-1141+1222$$

เพิ่ม -1141 ไปยัง 1222

$$-27x=81$$

หารทั้งสองข้างด้วย -27

$$x=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ x ใน 7y-8x=94 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$7y-8\left(-3\right)=94$$

คูณ -8 ด้วย -3

$$7y+24=94$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=70$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=-3$$