แก้โจทย์ {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+1

$$2x+2-3y=-9$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-9-2$$

ลบ 2 จาก -9 เพื่อรับ -11

$$2x-3y=-11$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+5-y

$$3x+15-3y+3x=12$$

รวม 3x และ 3x เพื่อให้ได้รับ 6x

$$6x+15-3y=12$$

ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$6x-3y=12-15$$

ลบ 15 จาก 12 เพื่อรับ -3

$$6x-3y=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=-11$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y-11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y-11

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

ทดแทน \frac{3y-11}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-3y=-3

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

คูณ 6 ด้วย \frac{3y-11}{2}

$$9y-33-3y=-3$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -3y

$$6y-33=-3$$

เพิ่ม 33 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย 5

$$x=\frac{15-11}{2}$$

เพิ่ม -\frac{11}{2} ไปยัง \frac{15}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+1

$$2x+2-3y=-9$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-9-2$$

ลบ 2 จาก -9 เพื่อรับ -11

$$2x-3y=-11$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+5-y

$$3x+15-3y+3x=12$$

รวม 3x และ 3x เพื่อให้ได้รับ 6x

$$6x+15-3y=12$$

ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$6x-3y=12-15$$

ลบ 15 จาก 12 เพื่อรับ -3

$$6x-3y=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+1

$$2x+2-3y=-9$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-9-2$$

ลบ 2 จาก -9 เพื่อรับ -11

$$2x-3y=-11$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+5-y

$$3x+15-3y+3x=12$$

รวม 3x และ 3x เพื่อให้ได้รับ 6x

$$6x+15-3y=12$$

ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$6x-3y=12-15$$

ลบ 15 จาก 12 เพื่อรับ -3

$$6x-3y=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

ลบ 6x-3y=-3 จาก 2x-3y=-11 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 3y ตัดพจน์ -3y และ 3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-6x=-11+3$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -6x

$$-4x=-11+3$$

เพิ่ม -11 ไปยัง 3

$$-4x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน 6x-3y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$6\times 2-3y=-3$$

คูณ 6 ด้วย 2

$$12-3y=-3$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=5$$