แก้โจทย์ {l}{y=x+1500}{0.06x+0.10y=1070}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1500 } \\ { 0.06 x + 0.10 y = 1070 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=5750$$

$$y=7250$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=1500$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-x=1500$$

เพิ่ม x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=x+1500$$

ทดแทน x+1500 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 0.1y+0.06x=1070

$$0.1\left(x+1500\right)+0.06x=1070$$

คูณ 0.1 ด้วย x+1500

$$0.1x+150+0.06x=1070$$

เพิ่ม \frac{x}{10} ไปยัง \frac{3x}{50}

$$0.16x+150=1070$$

ลบ 150 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.16x=920$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.16 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=5750$$

ทดแทน 5750 สำหรับ x ใน y=x+1500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=5750+1500$$

เพิ่ม 1500 ไปยัง 5750

$$y=7250$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=7250,x=5750$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=1500$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-\left(-0.1\right)}&-\frac{-1}{0.06-\left(-0.1\right)}\\-\frac{0.1}{0.06-\left(-0.1\right)}&\frac{1}{0.06-\left(-0.1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375&6.25\\-0.625&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375\times 1500+6.25\times 1070\\-0.625\times 1500+6.25\times 1070\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7250\\5750\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=7250,x=5750$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=1500$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

เพื่อทำให้ y และ \frac{y}{10} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.1y+0.1\left(-1\right)x=0.1\times 1500,0.1y+0.06x=1070$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.1y-0.1x=150,0.1y+0.06x=1070$$

ลบ 0.1y+0.06x=1070 จาก 0.1y-0.1x=150 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.1y-0.1y-0.1x-0.06x=150-1070$$

เพิ่ม \frac{y}{10} ไปยัง -\frac{y}{10} ตัดพจน์ \frac{y}{10} และ -\frac{y}{10} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-0.1x-0.06x=150-1070$$

เพิ่ม -\frac{x}{10} ไปยัง -\frac{3x}{50}

$$-0.16x=150-1070$$

เพิ่ม 150 ไปยัง -1070

$$-0.16x=-920$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.16 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=5750$$

ทดแทน 5750 สำหรับ x ใน 0.1y+0.06x=1070 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$0.1y+0.06\times 5750=1070$$

คูณ 0.06 ด้วย 5750

$$0.1y+345=1070$$

ลบ 345 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.1y=725$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=7250$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=7250,x=5750$$