แก้โจทย์ {l}{y=k(x-sqrt{3})}{x^2+4y^2-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = k ( x - \sqrt { 3 } ) } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ k ด้วย x-\sqrt{3}

$$y=kx-k\sqrt{3}$$

ลบ kx จากทั้งสองด้าน

$$y-kx=-k\sqrt{3}$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k,x^{2}+4y^{2}=4$$

หาค่า y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k สำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k$$

ลบ \left(-k\right)x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=kx-\sqrt{3}k$$

ทดแทน kx-\sqrt{3}k สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง x^{2}+4y^{2}=4

$$x^{2}+4\left(kx-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

ยกกำลังสอง kx-\sqrt{3}k

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}\right)=4$$

คูณ 4 ด้วย k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

เพิ่ม x^{2} ไปยัง 4k^{2}x^{2}

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}-4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+4k^{2} แทน a, 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right) แทน b และ 12k^{2}-4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{\left(8k\left(-\sqrt{3}k\right)\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

ยกกำลังสอง 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right)

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย 1+4k^{2}

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

คูณ -4-16k^{2} ด้วย 12k^{2}-4

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+16+16k^{2}-192k^{4}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

เพิ่ม 192k^{4} ไปยัง 16k^{2}-192k^{4}+16

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{16k^{2}+16}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

หารากที่สองของ 16k^{2}+16

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±4\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย 1+4k^{2}

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 8\sqrt{3}k^{2} ไปยัง 4\sqrt{k^{2}+1}

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

หาร 8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1} ด้วย 2+8k^{2}

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4\sqrt{k^{2}+1} จาก 8\sqrt{3}k^{2}

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

หาร 8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1} ด้วย 2+8k^{2}

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ x:\frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} และ \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} ทดแทน \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=kx-\sqrt{3}k เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

คูณ k ด้วย \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

แทนค่า \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=kx-\sqrt{3}k และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

คูณ k ด้วย \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}-1\right)}{6k^{2}}\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}+1\right)}{6k}\text{, }&k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\end{matrix}\right.$$