แก้โจทย์ {l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, p

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 7.5p จากทั้งสองด้าน

$$y-7.5p=45$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 0.6p ไปทั้งสองด้าน

$$y+0.6p=300$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-7.5p=45$$

เพิ่ม \frac{15p}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=7.5p+45$$

ทดแทน \frac{15p}{2}+45 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+0.6p=300

$$7.5p+45+0.6p=300$$

เพิ่ม \frac{15p}{2} ไปยัง \frac{3p}{5}

$$8.1p+45=300$$

ลบ 45 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8.1p=255$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 8.1 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$p=\frac{850}{27}$$

ทดแทน \frac{850}{27} สำหรับ p ใน y=7.5p+45 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

คูณ 7.5 ครั้ง \frac{850}{27} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

เพิ่ม 45 ไปยัง \frac{2125}{9}

$$y=\frac{2530}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 7.5p จากทั้งสองด้าน

$$y-7.5p=45$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 0.6p ไปทั้งสองด้าน

$$y+0.6p=300$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ p

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 7.5p จากทั้งสองด้าน

$$y-7.5p=45$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 0.6p ไปทั้งสองด้าน

$$y+0.6p=300$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

ลบ y+0.6p=300 จาก y-7.5p=45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

เพิ่ม -\frac{15p}{2} ไปยัง -\frac{3p}{5}

$$-8.1p=45-300$$

เพิ่ม 45 ไปยัง -300

$$-8.1p=-255$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -8.1 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$p=\frac{850}{27}$$

ทดแทน \frac{850}{27} สำหรับ p ใน y+0.6p=300 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

คูณ 0.6 ครั้ง \frac{850}{27} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y+\frac{170}{9}=300$$

ลบ \frac{170}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{2530}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$