แก้โจทย์ {l}{y=7x+3}{y=x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7 x + 3 } \\ { y = x + 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=1$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$y-7x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-7x=3,y-x=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-7x=3$$

เพิ่ม 7x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=7x+3$$

ทดแทน 7x+3 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-x=9

$$7x+3-x=9$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -x

$$6x+3=9$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y=7x+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=7+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 7

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$y-7x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-7x=3,y-x=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{-1-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-7\right)}&\frac{1}{-1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 3+\frac{7}{6}\times 9\\-\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=10,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$y-7x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-7x=3,y-x=9$$

ลบ y-x=9 จาก y-7x=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-7x+x=3-9$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-7x+x=3-9$$

เพิ่ม -7x ไปยัง x

$$-6x=3-9$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -9

$$-6x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y-x=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-1=9$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=1$$