แก้โจทย์ {l}{y=6x+4}{y=8x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x + 4 } \\ { y = 8 x + 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=1$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$y-8x=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-6x=4,y-8x=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-6x=4$$

เพิ่ม 6x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=6x+4$$

ทดแทน 6x+4 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-8x=2

$$6x+4-8x=2$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -8x

$$-2x+4=2$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y=6x+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=6+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 6

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$y-8x=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-6x=4,y-8x=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-6\right)}&\frac{1}{-8-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 4-3\times 2\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=10,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$y-8x=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-6x=4,y-8x=2$$

ลบ y-8x=2 จาก y-6x=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-6x+8x=4-2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6x+8x=4-2$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 8x

$$2x=4-2$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -2

$$2x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y-8x=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-8=2$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=10,x=1$$