แก้โจทย์ {l}{y=4x+2}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-4x=2$$

เพิ่ม 4x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=4x+2$$

ทดแทน 4x+2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+2x=-4

$$4x+2+2x=-4$$

เพิ่ม 4x ไปยัง 2x

$$6x+2=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y=4x+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=4\left(-1\right)+2$$

คูณ 4 ด้วย -1

$$y=-4+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -4

$$y=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-2,x=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-4\right)}&\frac{1}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{2}{3}\left(-4\right)\\-\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-2,x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

ลบ y+2x=-4 จาก y-4x=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-4x-2x=2+4$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4x-2x=2+4$$

เพิ่ม -4x ไปยัง -2x

$$-6x=2+4$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 4

$$-6x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y+2x=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$y-2=-4$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-2,x=-1$$