แก้โจทย์ {l}{y=4x+1}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 1 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=1$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-4x=1,y-5x=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-4x=1$$

เพิ่ม 4x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=4x+1$$

ทดแทน 4x+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-5x=0

$$4x+1-5x=0$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -5x

$$-x+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y=4x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=4+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-4x=1,y-5x=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=5,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$y-5x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-4x=1,y-5x=0$$

ลบ y-5x=0 จาก y-4x=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-4x+5x=1$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4x+5x=1$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 5x

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y-5x=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-5=0$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=1$$