แก้โจทย์ {l}{y=3x+1}{y=6x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 1 } \\ { y = 6 x + 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-3x=1,y-6x=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-3x=1$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3x+1$$

ทดแทน 3x+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-6x=4

$$3x+1-6x=4$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -6x

$$-3x+1=4$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y=3x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=3\left(-1\right)+1$$

คูณ 3 ด้วย -1

$$y=-3+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -3

$$y=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-2,x=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-3x=1,y-6x=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-6-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-3\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-2,x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$y-6x=4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-3x=1,y-6x=4$$

ลบ y-6x=4 จาก y-3x=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-3x+6x=1-4$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3x+6x=1-4$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 6x

$$3x=1-4$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -4

$$3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y-6x=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-6\left(-1\right)=4$$

คูณ -6 ด้วย -1

$$y+6=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-2,x=-1$$