แก้โจทย์ {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-2x=8$$

เพิ่ม 2x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=2x+8$$

ทดแทน 8+2x สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+3x=-12

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

คูณ 2 ด้วย 8+2x

$$4x+16+3x=-12$$

เพิ่ม 4x ไปยัง 3x

$$7x+16=-12$$

ลบ 16 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ x ใน y=2x+8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=2\left(-4\right)+8$$

คูณ 2 ด้วย -4

$$y=-8+8$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -8

$$y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=0,x=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=0,x=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

เพื่อทำให้ y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

ลบ 2y+3x=-12 จาก 2y-4x=16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4x-3x=16+12$$

เพิ่ม -4x ไปยัง -3x

$$-7x=16+12$$

เพิ่ม 16 ไปยัง 12

$$-7x=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ x ใน 2y+3x=-12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

คูณ 3 ด้วย -4

$$2y-12=-12$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=0,x=-4$$