แก้โจทย์ {l}{y=11x-7}{y=2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 11 x - 7 } \\ { y = 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1.111111111$$

$$y = \frac{47}{9} = 5\frac{2}{9} \approx 5.222222222$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 11x จากทั้งสองด้าน

$$y-11x=-7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-11x=-7,y-2x=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-11x=-7$$

เพิ่ม 11x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=11x-7$$

ทดแทน 11x-7 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-2x=3

$$11x-7-2x=3$$

เพิ่ม 11x ไปยัง -2x

$$9x-7=3$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{10}{9}$$

ทดแทน \frac{10}{9} สำหรับ x ใน y=11x-7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=11\times \frac{10}{9}-7$$

คูณ 11 ด้วย \frac{10}{9}

$$y=\frac{110}{9}-7$$

เพิ่ม -7 ไปยัง \frac{110}{9}

$$y=\frac{47}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{47}{9},x=\frac{10}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 11x จากทั้งสองด้าน

$$y-11x=-7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-11x=-7,y-2x=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-11\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-11\right)}&-\frac{-11}{-2-\left(-11\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-11\right)}&\frac{1}{-2-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-7\right)+\frac{11}{9}\times 3\\-\frac{1}{9}\left(-7\right)+\frac{1}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{9}\\\frac{10}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{47}{9},x=\frac{10}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 11x จากทั้งสองด้าน

$$y-11x=-7$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-11x=-7,y-2x=3$$

ลบ y-2x=3 จาก y-11x=-7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-11x+2x=-7-3$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-11x+2x=-7-3$$

เพิ่ม -11x ไปยัง 2x

$$-9x=-7-3$$

เพิ่ม -7 ไปยัง -3

$$-9x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=\frac{10}{9}$$

ทดแทน \frac{10}{9} สำหรับ x ใน y-2x=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-2\times \frac{10}{9}=3$$

คูณ -2 ด้วย \frac{10}{9}

$$y-\frac{20}{9}=3$$

เพิ่ม \frac{20}{9} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{47}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{47}{9},x=\frac{10}{9}$$