แก้โจทย์ {l}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 0.5x จากทั้งสองด้าน

$$y-0.5x=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-0.5x=2$$

เพิ่ม \frac{x}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=0.5x+2$$

ทดแทน \frac{x}{2}+2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 3y+x=1

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

คูณ 3 ด้วย \frac{x}{2}+2

$$1.5x+6+x=1$$

เพิ่ม \frac{3x}{2} ไปยัง x

$$2.5x+6=1$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2.5x=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ x ใน y=0.5x+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

คูณ 0.5 ด้วย -2

$$y=-1+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -1

$$y=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$y=1,x=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 0.5x จากทั้งสองด้าน

$$y-0.5x=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=1,x=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 0.5x จากทั้งสองด้าน

$$y-0.5x=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

เพื่อทำให้ y และ 3y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

ลบ 3y+x=1 จาก 3y-1.5x=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-1.5x-x=6-1$$

เพิ่ม -\frac{3x}{2} ไปยัง -x

$$-2.5x=6-1$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -1

$$-2.5x=5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -2.5 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ x ใน 3y+x=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3y-2=1$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$y=1,x=-2$$