แก้โจทย์ {l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=-17$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+4x=-17$$

ลบ 4x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-4x-17$$

ทดแทน -4x-17 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 6y-2x=2

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

คูณ 6 ด้วย -4x-17

$$-24x-102-2x=2$$

เพิ่ม -24x ไปยัง -2x

$$-26x-102=2$$

เพิ่ม 102 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-26x=104$$

หารทั้งสองข้างด้วย -26

$$x=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ x ใน y=-4x-17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

คูณ -4 ด้วย -4

$$y=16-17$$

เพิ่ม -17 ไปยัง 16

$$y=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-1,x=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=-17$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-1,x=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=-17$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

เพื่อทำให้ y และ 6y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

ลบ 6y-2x=2 จาก 6y+24x=-102 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -6y ตัดพจน์ 6y และ -6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$24x+2x=-102-2$$

เพิ่ม 24x ไปยัง 2x

$$26x=-102-2$$

เพิ่ม -102 ไปยัง -2

$$26x=-104$$

หารทั้งสองข้างด้วย 26

$$x=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ x ใน 6y-2x=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

คูณ -2 ด้วย -4

$$6y+8=2$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-1,x=-4$$