แก้โจทย์ {l}{y=-4x+5}{y=-3/5x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 5 } \\ { y = - \frac { 3 } { 5 } x + 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=0$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=5$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{3}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+4x=5$$

ลบ 4x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-4x+5$$

ทดแทน -4x+5 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+\frac{3}{5}x=5

$$-4x+5+\frac{3}{5}x=5$$

เพิ่ม -4x ไปยัง \frac{3x}{5}

$$-\frac{17}{5}x+5=5$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{17}{5}x=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{17}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน y=-4x+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=5$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{3}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&\frac{3}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-4}&-\frac{4}{\frac{3}{5}-4}\\-\frac{1}{\frac{3}{5}-4}&\frac{1}{\frac{3}{5}-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{20}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 5+\frac{20}{17}\times 5\\\frac{5}{17}\times 5-\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=5,x=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=5$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{3}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{5}x=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+4x=5,y+\frac{3}{5}x=5$$

ลบ y+\frac{3}{5}x=5 จาก y+4x=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+4x-\frac{3}{5}x=5-5$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-\frac{3}{5}x=5-5$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -\frac{3x}{5}

$$\frac{17}{5}x=5-5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -5

$$\frac{17}{5}x=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{17}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ x ใน y+\frac{3}{5}x=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=0$$