แก้โจทย์ {l}{y=-4x+2}{y=-2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=2$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+4x=2$$

ลบ 4x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-4x+2$$

ทดแทน -4x+2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+2x=-2

$$-4x+2+2x=-2$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 2x

$$-2x+2=-2$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y=-4x+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-4\times 2+2$$

คูณ -4 ด้วย 2

$$y=-8+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -8

$$y=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-6,x=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+2\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-6,x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 4x ไปทั้งสองด้าน

$$y+4x=2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

ลบ y+2x=-2 จาก y+4x=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+4x-2x=2+2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-2x=2+2$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -2x

$$2x=2+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 2

$$2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y+2x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+2\times 2=-2$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$y+4=-2$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-6,x=2$$