แก้โจทย์ {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=7$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=13$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+2x=13$$

ลบ 2x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2x+13$$

ทดแทน -2x+13 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 8y+4x=20

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

คูณ 8 ด้วย -2x+13

$$-16x+104+4x=20$$

เพิ่ม -16x ไปยัง 4x

$$-12x+104=20$$

ลบ 104 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-12x=-84$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน y=-2x+13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-2\times 7+13$$

คูณ -2 ด้วย 7

$$y=-14+13$$

เพิ่ม 13 ไปยัง -14

$$y=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-1,x=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=13$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-1,x=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=13$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

เพื่อทำให้ y และ 8y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

ลบ 8y+4x=20 จาก 8y+16x=104 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -8y ตัดพจน์ 8y และ -8y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$16x-4x=104-20$$

เพิ่ม 16x ไปยัง -4x

$$12x=104-20$$

เพิ่ม 104 ไปยัง -20

$$12x=84$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ x ใน 8y+4x=20 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$8y+4\times 7=20$$

คูณ 4 ด้วย 7

$$8y+28=20$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-1,x=7$$