แก้โจทย์ {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{7}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{2}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

ลบ \frac{7x}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

ทดแทน -\frac{7x}{3}+3 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+\frac{2}{3}x=-2

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

เพิ่ม -\frac{7x}{3} ไปยัง \frac{2x}{3}

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ใน y=-\frac{7}{3}x+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

คูณ -\frac{7}{3} ด้วย 3

$$y=-7+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -7

$$y=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-4,x=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{7}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{2}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-4,x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{7}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{2}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

ลบ y+\frac{2}{3}x=-2 จาก y+\frac{7}{3}x=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

เพิ่ม \frac{7x}{3} ไปยัง -\frac{2x}{3}

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 2

$$\frac{5}{3}x=5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ใน y+\frac{2}{3}x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 3

$$y+2=-2$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-4,x=3$$