แก้โจทย์ {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{4}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

เพิ่ม \frac{x}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

ทดแทน \frac{x}{3}+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-\frac{4}{3}x=-2

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

เพิ่ม \frac{x}{3} ไปยัง -\frac{4x}{3}

$$-x+1=-2$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ใน y=\frac{1}{3}x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 3

$$y=1+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 1

$$y=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=2,x=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{4}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=2,x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{4}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

ลบ y-\frac{4}{3}x=-2 จาก y-\frac{1}{3}x=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

เพิ่ม -\frac{x}{3} ไปยัง \frac{4x}{3}

$$x=1+2$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 2

$$x=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ใน y-\frac{4}{3}x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

คูณ -\frac{4}{3} ด้วย 3

$$y-4=-2$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=2,x=3$$