แก้โจทย์ {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=4$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{2}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{1}{4}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

เพิ่ม \frac{x}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

ทดแทน \frac{x}{2}-4 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+\frac{1}{4}x=-1

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

เพิ่ม \frac{x}{2} ไปยัง \frac{x}{4}

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{4}x=3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y=\frac{1}{2}x-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 4

$$y=2-4$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 2

$$y=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-2,x=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{2}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{1}{4}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-2,x=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{2}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{1}{4}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

ลบ y+\frac{1}{4}x=-1 จาก y-\frac{1}{2}x=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

เพิ่ม -\frac{x}{2} ไปยัง -\frac{x}{4}

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 1

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y+\frac{1}{4}x=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 4

$$y+1=-1$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-2,x=4$$