แก้โจทย์ {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{2}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

เพิ่ม \frac{x}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

ทดแทน \frac{x}{2}+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+3x=-2

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{x}{2}+1

$$x+2+3x=-2$$

เพิ่ม x ไปยัง 3x

$$4x+2=-2$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y=\frac{1}{2}x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -1

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -\frac{1}{2}

$$y=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{2}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{2}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

เพื่อทำให้ y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

ลบ 2y+3x=-2 จาก 2y-x=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-x-3x=2+2$$

เพิ่ม -x ไปยัง -3x

$$-4x=2+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 2

$$-4x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน 2y+3x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

คูณ 3 ด้วย -1

$$2y-3=-2$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$