แก้โจทย์ {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20

$$20x-y=320$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=21,20x-y=320$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=21$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+21$$

ทดแทน y+21 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 20x-y=320

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

คูณ 20 ด้วย y+21

$$20y+420-y=320$$

เพิ่ม 20y ไปยัง -y

$$19y+420=320$$

ลบ 420 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$19y=-100$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=-\frac{100}{19}$$

ทดแทน -\frac{100}{19} สำหรับ y ใน x=y+21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -\frac{100}{19}

$$x=\frac{299}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20

$$20x-y=320$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=21,20x-y=320$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20

$$20x-y=320$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=21,20x-y=320$$

ลบ 20x-y=320 จาก x-y=21 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-20x-y+y=21-320$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x-20x=21-320$$

เพิ่ม x ไปยัง -20x

$$-19x=21-320$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -320

$$-19x=-299$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$x=\frac{299}{19}$$

ทดแทน \frac{299}{19} สำหรับ x ใน 20x-y=320 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

คูณ 20 ด้วย \frac{299}{19}

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

ลบ \frac{5980}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=\frac{100}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-\frac{100}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$