แก้โจทย์ {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$2y-x=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=16,-x+2y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=16$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+16$$

ทดแทน y+16 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+2y=5

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

คูณ -1 ด้วย y+16

$$-y-16+2y=5$$

เพิ่ม -y ไปยัง 2y

$$y-16=5$$

เพิ่ม 16 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=21$$

ทดแทน 21 สำหรับ y ใน x=y+16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=21+16$$

เพิ่ม 16 ไปยัง 21

$$x=37$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=37,y=21$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$2y-x=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=16,-x+2y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=37,y=21$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$2y-x=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=16,-x+2y=5$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

ลบ -x+2y=5 จาก -x+y=-16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-2y=-16-5$$

เพิ่ม y ไปยัง -2y

$$-y=-16-5$$

เพิ่ม -16 ไปยัง -5

$$-y=-21$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=21$$

ทดแทน 21 สำหรับ y ใน -x+2y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+2\times 21=5$$

คูณ 2 ด้วย 21

$$-x+42=5$$

ลบ 42 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-37$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=37$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=37,y=21$$